Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C與直線l在該直角坐標(biāo)系下的普通方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)A在曲線C上，動(dòng)點(diǎn)B在直線l上，定點(diǎn)P（-1，1），求|PB|+|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直可求出P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為Q（3，5），通過(guò)等量代換可知當(dāng)且僅當(dāng)Q，B，A，C四點(diǎn)共線時(shí)，且A在B，C之間時(shí)|PB|+|AB|的最小值為$\sqrt{26}$-1．

解答 解：（1）由曲線C的參數(shù)方程可得（x-2）²+y²=1，
∵直線l是極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴ρ（sinθ+cosθ）=4，即x+y=4；
（2）設(shè)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為Q（a，b），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{2}+\frac{b+1}{2}=4}\\{\frac{b-1}{a+1}•（-1）=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=5}\end{array}\right.$，即Q（3，5），
由（1）知曲線C為圓，圓心C（2，0），半徑r=1，
∴|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1=$\sqrt{26}$-1，
僅當(dāng)Q，B，A，C四點(diǎn)共線時(shí)，且A在B，C之間時(shí)等號(hào)成立，
故|PB|+|AB|的最小值為$\sqrt{26}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．