Question

15．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=-cos²x+2msinx+2（m+1）．
（1）若記f（x）的最小值為g（m），求g（m）的表達(dá)式（用實(shí)數(shù)m表示）
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論求出二次函數(shù)的最小值，即可得解．
（2）根據(jù)（1）及x的范圍，可得f（t）=t²+2mt+2m+1，t∈（0，1），由題意利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合方法求得答案．

解答 解：（1）f（x）=-cos²x+2msinx+2m+2
=sin²x+2msinx+2m+1
令sinx=t，t∈[-1，1]則
y=t²+2mt+2m+1，t∈[-1，1]
對(duì)稱軸為t=-m，
①當(dāng)-m≤-1時(shí)，g（m）=f（-1）=2，
②當(dāng)-1＜-m＜1時(shí)，g（m）=f（-m）=-m²+2m+1，
③-m≥1時(shí)，g（m）=f（1）=4m+2，
總之，函數(shù)的最小值g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{2}{-{m}^{2}+2m+1}}&{\stackrel{-m≤1}{-1＜-m＜1}}\\{4m+2}&{-m≥1}\end{array}\right.$．
（2）∵f（x）=sin²x+2msinx+2m+1，
令sinx=t，x∈（0，$\frac{π}{2}$），t∈（0，1），
則：f（t）=t²+2mt+2m+1，t∈（0，1），
∴由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0＜-m＜1}{f（0）＞0}}\\{\stackrel{f（1）＞0}{f（-m）＜0}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{-1＜m＜0}{m＞-\frac{1}{2}}}\\{m＜1-\sqrt{2}或m＞1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$
∴解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（$-\frac{1}{2}$，1-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的判定，用數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．