Question

3．如圖用莖葉圖記錄了同班的甲、乙兩名學(xué)生4次數(shù)學(xué)考試成績，其中甲的一次成績模糊不清，用x標(biāo)記．
（1）若甲、乙這4次的平均成績相同，確定甲、乙中誰的成績更穩(wěn)定，并說明理由；
（2）若甲這4次獲得的最高分正好是班上第一名（滿分100，且分?jǐn)?shù)為整數(shù)），且班上這次數(shù)學(xué)的第二名是91分，求甲這4次成績的平均分高于乙這4次成績的平均分的概率．

Answer 1

分析 （1）由甲、乙這4次的平均成績相同，先求出x=3和平均數(shù)，然后求出甲、乙的方差，由此得到乙的成績更穩(wěn)定．
（2）由已知得x的可能取值為2，3，4，5，6，7，8，9，再由甲這4次成績的平均分高于乙這4次成績的平均分，得到x的可能取值為4，5，6，7，8，9，由此能求出甲這4次成績的平均分高于乙這4次成績的平均分的概率．

解答 解：（1）∵甲、乙這4次的平均成績相同，
∴90+x+81+82+84=90+80+85+85，
解得x=3，
∴平均數(shù)為$\overline{x}$=$\frac{1}{4}（90+80+85+85）=85$，
∴甲的方差${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（93-85）²+（81-85）²+（82-85）²+（84-85）²]=22.5；

乙的方差${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（90-85）²+（80-85）²+（85-85）²+（85-85）²]=12.5．
∵甲、乙的平均成績相同，乙的方差小于甲的方差，
∴乙的成績更穩(wěn)定．
（2）由（1）知乙的平均分是85分，x=3時(shí)，甲的平均分是85，
∵甲這4次獲得的最高分正好是班上第一名（滿分100，且分?jǐn)?shù)為整數(shù)），且班上這次數(shù)學(xué)的第二名是91分，
∴x的可能取值為2，3，4，5，6，7，8，9，共8個(gè)，
∵甲這4次成績的平均分高于乙這4次成績的平均分，
∴x的可能取值為4，5，6，7，8，9，共6個(gè)，
∴甲這4次成績的平均分高于乙這4次成績的平均分的概率：
p=$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查甲、乙兩人誰的成績更穩(wěn)定的求法，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖性質(zhì)的合理運(yùn)用．