Question

16．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且sin2A=sinC-sin（A-B），C為鈍角．
（1）求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若a=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求邊c的大�。�

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式可得2sinAcosA=2cosAsinB，由C為鈍角，可得A，B為銳角，cosA≠0，可得sinA=sinB，進而解得A=B，從而得證．
（2）由（1）可得：a=b=1，由三角形面積公式可求sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合C為鈍角，可得cosC=-$\frac{1}{2}$，利用余弦定理即可得解．

解答 解：（1）證明：∵sin2A=sinC-sin（A-B），
∴2sinAcosA=sin（A+B）-sin（A-B）=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
即：2sinAcosA=2cosAsinB，
∵C為鈍角．
∴A，B為銳角，cosA≠0，
∴sinA=sinB，可得A=B．得證．
（2）∵a=1，由（1）可得：b=1，
∴△ABC的面積$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×1×sinC$，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C為鈍角，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了二倍角公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．