Question

11．已知△ABC的面積S和三邊a，b，c滿足：S=a²-（b-c）²，b+c=6，則△ABC的面積S的最大值為$\frac{36}{17}$．

Answer 1

分析 由題意和面積公式以及同角三角函數(shù)基本關系可得sinA，進而可得面積S，由基本不等式可得．

解答 解：∵△ABC的面積S和三邊a，b，c滿足：S=a²-（b-c）²，b+c=6，
∴由面積公式和余弦定理可得S=a²-b²-c²+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴-2bccosA+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA，∴-2cosA+2=$\frac{1}{2}$sinA，
結合cos²A+sin²A=1可解得sinA=$\frac{8}{17}$，cosA=$\frac{15}{17}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{4}{17}$bc≤$\frac{4}{17}$（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{36}{17}$，
當且僅當b=c=3時取等號．
故答案為：$\frac{36}{17}$．

點評 本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式以及基本不等式求最值，屬中檔題．