Question

18．已知△ABC是圓O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的內(nèi)接三角形，其中A（1，0），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），角A，B，C的對邊分別為A，B，C．
（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求cos∠COB；
（Ⅱ）若點(diǎn)C在優(yōu)弧$\widehat{AB}$上運(yùn)動(dòng)，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點(diǎn)C，B的坐標(biāo)可以得到∠AOC，∠AOB，即可由cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）得解．
（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由題意求得角C可得A的范圍，從而可求a+b的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由點(diǎn)C，B的坐標(biāo)可以得到∠AOC=$\frac{3π}{4}$，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，…（2分）
所以cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$（-\frac{1}{2}）-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閏=$\sqrt{3}$，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，所以C=$\frac{π}{3}$，所以$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，…（8分）
所以a+b=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），（0＜A＜$\frac{2π}{3}$），…（11分）
所以當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，a+b最大，最大值是2$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．