Question

10．設(shè)P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一個動點，過點P向兩條漸近線作垂線，垂足分別為A，B，若A，B始終在第一或第二象限內(nèi)，則該雙曲線離心率e的取值范圍為（$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得漸近線y=$\frac{a}$的傾斜角大于45°，即有斜率大于1，即為$\frac{a}$＞1，運用離心率公式和雙曲線的離心率范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為
y=±$\frac{a}$x，
由題意，A，B始終在第一或第二象限內(nèi)，
則有漸近線y=$\frac{a}$的傾斜角大于45°，
有斜率大于1，即為$\frac{a}$＞1，
雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$＞$\sqrt{2}$，
又e＞1，即有e的范圍為（$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案為：（$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的運用和離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．