Question

19．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=2，S_3n=14，則S_4n等于30．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，則q＞0且q≠1，根據(jù)題意和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組，通過消元和因式分解求出qⁿ和$\frac{{a}_{1}}{1-q}$的值，再求出S_4n的值．

解答 解：由題意設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，則q＞0且q≠1，
∵S_n=2，S_3n=14，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=2}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}=14}\end{array}\right.$，
兩式相除可得，q³ⁿ-7qⁿ+6=0，則q³ⁿ-1-7（qⁿ-1）=0，
即（qⁿ-1）（q²ⁿ+qⁿ-6）=0，解得qⁿ=1或2或-3，則qⁿ=2，
代入$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2得，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2，
∴S_4n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4n}）}{1-q}$=30，
故答案為：30．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及整體代換求值，注意q與1的關(guān)系，考查化簡、計(jì)算能力，屬于中檔題．