Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$且過(guò)點(diǎn)P（2，2）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)M（-1，0）作直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，△F₁AF₂、△F₁BF₂的面積分別為S₁、S₂，試確定|S₁-S₂|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（m²+2）y²-2my-11=0，S₁=c|y₁|，S₂=c|y₂|，可得|S₁-S₂|=$\sqrt{6}$|y₁+y₂|，利用根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得：a²=12，$b=c=\sqrt{6}$．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，化為：（m²+2）y²-2my-11=0，
△＞0，∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$．
∵S₁=$\frac{1}{2}×2c|{y}_{1}|$=c|y₁|，S₂=c|y₂|，
∴|S₁-S₂|=$\sqrt{6}$||y₁|-|y₂||=$\sqrt{6}$|y₁+y₂|=$\frac{2\sqrt{6}|m|}{{m}^{2}+2}$，
m=0時(shí)，|S₁-S₂|=0．
m≠0時(shí)，0＜|S₁-S₂|=$\frac{2\sqrt{6}}{|m|+\frac{2}{|m|}}$≤$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)|m|=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
綜上可得：|S₁-S₂|的取值范圍是$[0，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．