Question

5．如圖：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90°，棱AA₁=2，M、N分別為A₁B₁、AB的中點．
（1）求證：平面A₁NC∥平面BMC₁；
（2）求異面直線A₁C與C₁N所成角的大��；
（3）求點A到平面A₁NC的距離；
（4）直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角的大�。�
（5）二面角A₁-CN-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導出A₁M$\underset{∥}{=}$BN，CC₁$\underset{∥}{=}$MN，從而A₁N∥BM，CN∥C₁M，由此能證明平面A₁NC∥平面BMC₁．
（2）以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線A₁C與C₁N所成角的大�。�
（3）求出平面CNA₁的法向量，利用向量法能求出點A到平面A₁NC的距離．
（4）求出$\overrightarrow{{A}_{1}N}$和平面ACC₁A₁的法向量，利用向量法能求出直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角的大小．
（5）求出平面CNA₁的法向量和平面ACNA₁的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-CN-A的大�。�

解答 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90°，
棱AA₁=2，M、N分別為A₁B₁、AB的中點，
∴A₁M$\underset{∥}{=}$BN，CC₁$\underset{∥}{=}$MN，
∴四邊形A₁MBN是平行四邊形，四邊形CC₁MN是平行四邊形，
∴A₁N∥BM，CN∥C₁M，
∵A₁N∩CN=N，BM∩C₁M=M，A₁N、CN?平面A₁NC，BM，C₁M?BMC₁，
∴平面A₁NC∥平面BMC₁．
解：（2）以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
A₁（1，0，2），C（0，0，0），C₁（0，0，2），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-2$），
設(shè)異面直線A₁C與C₁N所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{C}_{1}N}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{{C}_{1}N}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{18}{4}}}$=$\frac{7\sqrt{10}}{30}$，
∴θ=arccos$\frac{7\sqrt{10}}{30}$，
∴異面直線A₁C與C₁N所成角的大小為arccos$\frac{7\sqrt{10}}{30}$．
（3）A（1，0，0），A₁（1，0，2），C（0，0，0），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，0，2），$\overrightarrow{CN}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
設(shè)平面CNA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-1），
∴點A到平面A₁NC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{2}{\sqrt{9}}$=$\frac{2}{3}$．
（4）$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-2），平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}N}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{{A}_{1}N}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{18}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴直線A₁N與平面ACC₁A₁所成角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
（5）平面CNA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-1），
平面ACNA₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
設(shè)二面角A₁-CN-A的平面角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
θ=arccos$\frac{1}{3}$．
∴二面角A₁-CN-A的大小為arccos$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查異面直線A₁C與C₁N所成角、點到平面的距離、直線與平面所成角的大小、二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．