Question

已知M是滿足下列條件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，則x-y∈M；③若x∈M且x≠0，則

1

x

∈M；
（1）判斷

1

3

∈M是否正確，說明理由；
（2）證明：“x∈Z”是“x∈M”的充分條件，其中Z是正整數(shù)數(shù)集；
（3）證明：若x，y∈M，則xy∈M．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合,簡易邏輯

分析：（1）由①②容易得到3∈M，所以由③得到

1

3

∈M；
（2）x∈M，能得到-x∈M，由已知條件知0∈M，所以只要證明任意的正整數(shù)x∈M即可得到任意的整數(shù)x∈M，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法來證：1，2∈M，假設(shè)k∈M，則k-（-1）=k+1∈M，所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對任意正整數(shù)x∈M，所以便得到x∈Z是x∈M的充分條件；
（3）先構(gòu)造出xy=

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

，所以可證明：若x，y∈M，則x²∈M，x+y∈M．先證明x²∈M，設(shè)x∈M，x≠0，則得到

1

x

∈M，1x-1∈M，

1

x-1

∈M，所以

1

x

-

1

x-1

=

1

x(1-x)

∈M，所以x-x²∈M，所以得到x-（x-x²）=x²∈M，由前面知，x+y∈M，

1

x

+

1

x

=

2

x

∈M，所以

x

2

∈M，所以便可得到

(x+y)2

2

，

x2+y2

2

∈M，所以得到

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

=xy∈M．

解答： 解：（1）

1

3

∈M正確，證明如下：
由①0∈M，1∈M，由②知0-1=-1∈M；
∴1-（-1）=2∈M，2-（-1）=3∈M；
由③知

1

3

∈M；
（2）證明：由②知，若x∈M，則0-x=-x∈M，故只需證明任意正整數(shù)x∈M即可；
由（1）知，2∈M，假設(shè)正整數(shù)k∈M，則k-（-1）=k+1∈M；
∴由數(shù)學(xué)歸納法知：任意正整數(shù)x∈M；
即x∈Z，是x∈M的充分條件；
（3）證明：先證：若x∈M，則x²∈M：
由②知，若x∈M，且x≠0，∵1∈M，則x-1∈M；
由③知，

1

x

∈M，

1

x-1

∈M；
∴

1

x

-

1

x-1

=

1

x(1-x)

∈M，∴x-x²∈M；
由②知，x-（x-x²）=x²∈M；
再證：若x，y∈M，則x+y∈M：
0-y=-y∈M，∴x-（-y）=x+y∈M；
∴

1

x

+

1

x

=

2

x

∈M；
∴

x

2

∈M；
∴由前面知：(x+y)2，x2，y2，

(x+y)2

2

，

x2+y2

2

∈M；
∴

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

=xy∈M．

點(diǎn)評：考查對給出的新信息的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法在證明正整數(shù)問題的運(yùn)用，而想到xy=

(x+y)2

2

-

x2+y2

2

是求解本題的關(guān)鍵．