Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（-1，0）的距離與P到定直線x=-4的距離之比為$\frac{1}{2}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A、B是軌跡C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OA、OB與軌跡C的另一交點(diǎn)分別為A₁、B₁，且直線OA、OB的斜率之積等于$-\frac{3}{4}$，問(wèn)四邊形ABA₁B₁的面積S是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，可得，$\frac{{\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}}}{|x+4|}=\frac{1}{2}$，化簡(jiǎn)即可得到所求軌跡方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和斜率公式，結(jié)合點(diǎn)A、B在橢圓C上，可得x₁²+x₂²=4，
討論①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，則四邊形ABA₁B₁為矩形；②當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，通過(guò)三角形的面積公式和橢圓的對(duì)稱(chēng)性，即可得到所求面積為定值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意可得，$\frac{{\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}}}{|x+4|}=\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)得3x²+4y²=12，
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$． 
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，
$|AB|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$，
因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓C上，
所以$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
所以，$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，
化簡(jiǎn)得$x_1^2+x_2^2=4$． 
①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，則四邊形ABA₁B₁為矩形，y₂=-y₁，則$\frac{y_1^2}{x_1^2}=\frac{3}{4}$，
由$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，得$\frac{3}{4}x_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，
解得$x_1^2=2$，$y_1^2=\frac{3}{2}$，S=|AB|•|A₁B|=4|x₁||y₁|=$4\sqrt{3}$；
②當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，直線AB的方向向量為$\vec d=（{x_2}-{x_1}\;，\;{y_2}-{y_1}）$，
直線AB的方程為（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
原點(diǎn)O到直線AB的距離為$d=\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}}}$，
所以△AOB的面積${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|$，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，四邊形ABA₁B₁的面積S=4S_△AOB=2|x₁y₂-x₂y₁|，
所以，${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，
所以$S=4\sqrt{3}$．
所以，四邊形ABA₁B₁的面積為定值$4\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線的斜率公式和兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．