Question

7．已知函數(shù)f（x）=2e^x-（x-a）²+3，g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸是曲線y=g（x）的切線？
（Ⅱ）當(dāng)a＜-1時(shí)，證明：g（x）在[0，+∞）有唯一零點(diǎn)；
（Ⅲ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）當(dāng)a＜-1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可證明：g（x）在[0，+∞）有唯一零點(diǎn)；
（Ⅲ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0的等價(jià)條件f（x）在[0，+∞）最小值大于或等于，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=2（e^x-x+a），設(shè)曲線y=g（x）與x軸相切于點(diǎn)（x₀，0），則g（x₀）=0，g'（x₀）=0．即$\left\{\begin{array}{l}{e^{x_0}}-{x_0}+a=0\\{e^{x_0}}-1=0\end{array}\right.$，
解得x₀=0，a=-1，
因此當(dāng)a=-1時(shí)，x軸是曲線y=g（x）的切線．  …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=-1時(shí)，曲線y=g（x）與x軸相切于點(diǎn)（0，0）．
當(dāng)x≥0時(shí)，g'（x）=2（e^x-1）≥0，g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增．當(dāng)a＜-1時(shí)，g（0）=2（1+a）＜0．
所以曲線y=g（x）在y軸兩側(cè)與x軸各有一個(gè)交點(diǎn)．因此g（x）在[0，+∞）有唯一零點(diǎn)．…（6分）
（Ⅲ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，等價(jià)于f（x）在[0，+∞）最小值大于或等于0．
首先，f（0）≥0，即2-a²+3≥0，解得$-\sqrt{5}≤a≤\sqrt{5}$．
當(dāng)$-1≤a≤\sqrt{5}$時(shí)，由（Ⅱ）知f'（x）≥f'（0）≥0．所以f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）≥0；
當(dāng)$-\sqrt{5}≤a＜-1$時(shí)，f'（x）在[0，+∞）有唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)是t，則e^t=t-a．
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（0，t）上單調(diào)遞減，在（t，+∞）上單調(diào)遞增．
所以f（x）在[0，+∞）最小值是f（t）=2e^t-（t-a）²+3=-（e^t+1）（e^t-3）．
由f（t）≥0，得0＜t≤ln3．
由于a=t-e^t，設(shè)h（x）=x-e^x，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）=1-e^x＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
因?yàn)?＜t≤ln3，所以a=t-e^t∈[ln3-3，-1）．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[ln3-3，\sqrt{5}]$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線問題以及，利用函數(shù)單調(diào)性，最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．