Question

16．在直角三角形ABC中，AB=AC=3，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．設(shè)BF與CE交點(diǎn)為P，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{EF}$的值為3．

Answer 1

分析 由條件可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$．設(shè)$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，根據(jù)$\overrightarrow{FP}$∥$\overrightarrow{FB}$，求得y=$\frac{2}{3}$（1-x） ①．由$\overrightarrow{CP}$∥$\overrightarrow{CE}$，求得y=1-3x ②．由①②求得x、y的值，可得$\overrightarrow{AP}$═$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{AC}$．再利用兩個向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{EF}$ 的值．

解答 解：直角三角形ABC中，∵AB=AC=3，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，BF與CE交點(diǎn)為P，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$．
設(shè)$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則$\overrightarrow{FP}$=$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+（y-$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
再根據(jù)$\overrightarrow{FP}$∥$\overrightarrow{FB}$，可得$\frac{x}{1}$=$\frac{y-\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}}$，求得y=$\frac{2}{3}$（1-x） ①．
同理，由$\overrightarrow{CP}$∥$\overrightarrow{CE}$，求得y=1-3x ②．
由①②求得 x=$\frac{1}{7}$，y=$\frac{4}{7}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{AC}$，
 $\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{AC}$ ）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$ ）=-$\frac{1}{21}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{8}{21}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{2}{21}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ 
=-$\frac{1}{21}$×9+$\frac{8}{21}$×9-0=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量數(shù)量積的運(yùn)算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．