Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N^*）
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）設(shè){a_n}的前n項和為S_n，證明：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用累乘法和恒等式a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，化簡計算即可得到；
（Ⅱ）先由錯位相減求和，再由二項式定理放縮，可得S_n=n•2ⁿ，2ⁿ≥n+1，再由裂項相消求和即可得證．

解答 （Ⅰ）解：a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N^*），
則a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=2^n-1•$\frac{n+1}{n}$•$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$…$\frac{3}{2}$•2
=2^n-1•（n+1），（n∈N^*）；
（Ⅱ）證明：S_n=2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+2^n-1•（n+1），
則2S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+2ⁿ•（n+1），
二式相減得-S_n=2+2¹+2²+…+2^n-1-2ⁿ•（n+1）
=2+$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-2ⁿ•（n+1），
所以S_n=n•2ⁿ，
因為（1+1）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+…+${C}_{n}^{n}$，所以n≥1時，2ⁿ≥n+1，
所以$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$≤$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤1-$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時等號“=”成立）

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法：累乘法，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減和裂項相消求和，注意運(yùn)用二項式定理放縮，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．