Question

12．設(shè)F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，則雙曲線的離心率為5．

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線的定義，結(jié)合條件可得|PF₁|=8a，|PF₂|=6a，再由（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得|OP|=|OF₂|，得到∠F₁PF₂=90°，由勾股定理及離心率公式，計算即可得到．

解答 解：由于點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
則由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|=$\frac{4}{3}$|PF₂|，
解得|PF₁|=8a，|PF₂|=6a，
由（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
即為（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{O{F}_{2}}$-$\overrightarrow{OP}$）=0，
即有$\overrightarrow{OP}$²=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，
則△PF₁F₂中，|OP|=|OF₂|=|OF₁|，
則∠F₁PF₂=90°，
由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有64a²+36a²=4c²，
即有c=5a，
即e=$\frac{c}{a}$=5．
故答案為：5

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的求法，同時考查向量垂直的條件和勾股定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．