Question

13．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，3（a_n-a_n+1）=a_n•a_n+1，n∈N⁺，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=$\frac{3}{n+2}$．

Answer 1

分析 a₁=1，3（a_n-a_n+1）=a_n•a_n+1，n∈N⁺，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，3（a_n-a_n+1）=a_n•a_n+1，n∈N⁺，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為$\frac{1}{3}$，首項(xiàng)為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n+2}{3}$．
∴a_n=$\frac{3}{n+2}$．
故答案為：a_n=$\frac{3}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．