Question

1．已知$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）設(shè)f（x）的定義域為D，a，b∈D．求$f（a）+f（b）-f（\frac{a+b}{1+ab}）$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可得$f（a）+f（b）-f（\frac{a+b}{1+ab}）$的值．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}＞0$得：
x∈（-1，1），
∴f（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，
又由$f（{-x}）+f（x）=lg\frac{1+x}{1-x}+lg\frac{1-x}{1+x}=lg1=0$，
∴f（x）是奇函數(shù)           （6分）
（2）$f（a）+f（b）-f（{\frac{a+b}{1+ab}}）=lg\frac{1-a}{1+a}+lg\frac{1-b}{1+b}-lg\frac{{1-\frac{a+b}{1+ab}}}{{1+\frac{a+b}{1+ab}}}$
=$lg\frac{{（{1-a}）}}{{（{1+a}）}}•\frac{{（{1-b}）}}{{（{1+b}）}}-lg\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}$
=$lg\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}-lg\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}=0$（12分）

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．