Question

13．設(shè)$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$，利用推導等差數(shù)列前n項和的方法--倒序相加法，求f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化簡f（-x）+f（x+1）=$\frac{{2}^{x}}{1+\sqrt{2}•{2}^{x}}$+$\frac{1}{{2}^{x+1}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而解得．

解答 解：∵f（-x）+f（x+1）
=$\frac{1}{{2}^{-x}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{{2}^{x+1}+\sqrt{2}}$
=$\frac{{2}^{x}}{1+\sqrt{2}•{2}^{x}}$+$\frac{1}{{2}^{x+1}+\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}•{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）
=（f（-5）+f（6））+（f（-4）+f（5））+…+（f（0）+f（1））
=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系應用及倒序相加法的應用．