Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，當x=1時，f（x）的極值為3．
（1）求a，b的值；
（2）求該函數(shù)的解析式；
（3）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+mx＜0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先求導數(shù)，根據(jù)f（1）=3，f′（1）=0列出方程求出a，b；
（2）結(jié)合（1）可得f（x）；
（3）是一個不等式恒成立問題，先將m分離出來，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．

解答： 解（1）因為f（x）=ax³+bx²，所以f′（x）=3ax²+2bx．
又因為當x=1時，f（x）的極值為3，所以

a+b=3 3a+2b=0

，
解得a=-6，b=9．
（2）由（1）可知f（x）=-6x³+9x²．
所以f′（x）=-18x²+18x=-18x（x-1）．
令f′（x）＞0得，0＜x＜1；令f′（x）＜0得x＜0或x＞1．
故原函數(shù)的增區(qū)間為[0，1]，減區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．
（3）由已知得f（x）+mx＜0在（0，+∞）上恒成立．
即-6x³+9x²+mx＜0在（0，+∞）上恒成立．
整理得m＜6x²-9x=6（x-

3

4

）²-

27

8

（x＞0）恒成立．
顯然x=

3

4

時，上式右邊二次函數(shù)取得最小值-

27

8

．
故m＜-

27

8

即為所求．

點評：本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值時的應用．第三問涉及到的不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)．