Question

14．在銳角△ABC中，cosB+cos（A-C）=$\sqrt{3}$sinC．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）當BC=2時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形內角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知可得：2sinAsinC=$\sqrt{3}$sinC，由△ABC為銳角三角形，即可求sinA的值，從而可求A的值．
（Ⅱ）設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由余弦定理及基本不等式可得：bc≤4，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cosB+cos（A-C）=$\sqrt{3}$sinC．
∴-cos（A+C）+cos（A-C）=$\sqrt{3}$sinC，可得2sinAsinC=$\sqrt{3}$sinC，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC為銳角三角形，
∴A=60°…5分
（Ⅱ）設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由題意可得：a=2，
由余弦定理可得：4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc≥bc，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsin60°≤\sqrt{3}$，
當且僅當△ABC為等邊三角形時取等號，
∴△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．…12分

點評 本題主要考查了三角形內角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了余弦定理，基本不等式，三角形面積公式的綜合應用，熟練掌握和靈活應用相關公式定理是解題的關鍵，屬于中檔題．