Question

3．如圖，以ox為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們的終邊 分別與單位圓相交于點(diǎn)A、B．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
 （1）求 $\frac{sinα+tan（π-α）}{2tan（\frac{3π}{2}-α）co{s}^{2}（\frac{3π}{2}-α）}$的值：
（2）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求sin（β+$\frac{11π}{2}$）sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)定義得到角的三角函數(shù)值，把要求的式子用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，約分整理代入數(shù)值求解．
（2）以向量的數(shù)量積為0為條件，得到垂直關(guān)系，在角上表現(xiàn)為差是90°用誘導(dǎo)公式求解．

解答 解：（1）由三角函數(shù)定義得cosα=-$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{sinα+tan（π-α）}{2tan（\frac{3π}{2}-α）co{s}^{2}（\frac{3π}{2}-α）}$=$\frac{sinα-tanα}{2cotαsi{n}^{2}α}$=$\frac{sinα-\frac{sinα}{cosα}}{2sinαcosα}$=-$\frac{20}{9}$；
（2）∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴$α-β=\frac{π}{2}$，
∴β=α-$\frac{π}{2}$，
∴sin（β+$\frac{11π}{2}$）sinβ=sin（α-$\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{2}$）sin（α-$\frac{π}{2}$）=sin（α+5π）sin（α-$\frac{π}{2}$）=sinαcosα=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{12}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出題目要用的條件的過(guò)程，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，體會(huì)向量和三角函數(shù)的聯(lián)系；高考題目中向量和三角函數(shù)經(jīng)常結(jié)合在一起出現(xiàn)．