Question

20．給出下列五四個命題：
①若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，則a=-1；
②圓C₁：x²+y²+2x=0與圓C₂：x²+y²+2y-1=0恰有兩條公切線；
③已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1的左右焦點，P為橢圓上一點，且|PF₁|=3，則|PF₂|=1；
④雙曲線$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}$=1的頂點到漸近線的距離為$\frac{12}{5}$；
⑤已知過點P（2，0）的直線與拋物線y²=8x交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-12．
其中正確命題的序號是②④⑤（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

Answer 1

分析 利用兩條直線互相垂直的充要條件，得到關(guān)于a的方程可求，可判斷①，
先求兩圓的圓心和半徑，判定兩圓的位置關(guān)系，即可判定公切線的條數(shù)，可判斷②，
根據(jù)橢圓的定義，可判斷③，
根據(jù)點到直線的距離以及雙曲線的漸近線方程，即可判斷④，
由拋物線y²=8x與過其焦點（2，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標(biāo)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案，即可判斷⑤．

解答 解：對于①：由于兩條直線互相垂直，所以4a²+（a-3）=0，∴a=-1或$\frac{3}{4}$，故①錯誤；
對于②：兩圓的圓心分別是（-1，0），（0，-1），半徑分別是1，$\sqrt{2}$，兩圓圓心距離d=$\sqrt{2}$＜1+$\sqrt{2}$：說明兩圓相交，因而公切線只有兩條，故②正確；
對于③：因為a=4，|PF₁|+|PF₂|=2a=8，若|PF₁|=3，則|PF₂|=5，故③錯誤；
對于④雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{3}{4}x$，其定點坐標(biāo)為（0，3），（0，-3），頂點到漸近線的距離d=$\frac{12}{5}$，故④正確，
對于⑤解：由題意知，拋物線y²=8x的焦點坐標(biāo)為（2，0），∴直線AB的方程為y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁•x₂=4，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
y₁•y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²[4-2×$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$+4]=-16
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-=x₁•x₂+y₁•y₂=4-16=-12，故⑤正確．

點評 本題考查了圓錐曲線的定義和性質(zhì)，直線和直線，以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．