Question

20．二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
（1）若a=2．當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)．f（x）最大值不大于7，求b+c的最大值；
（2）當(dāng)|f（x）|≤1對(duì)x∈[-1，1]恒成立時(shí)，都有|ax+b|≤M對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求M的最N小值．

Answer 1

分析 （1）a=2時(shí)，函數(shù)f（x）為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，通過(guò)對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，3]的比較，可以得出f（x）在此區(qū)間內(nèi)的最大值，由最大值不大于7可以得到b+c的最大值．
（2）同過(guò)對(duì)二次函數(shù)f（x）中對(duì)稱軸的分析，得出f（x）的最值，再由|f（x）|≤1，得出a或b的取值范圍，再由此得出一次函數(shù)ax+b的絕對(duì)值的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x²+bx+c=2（x+$\frac{4}$）²+c-$\frac{^{2}}{8}$
對(duì)稱軸為x=-$\frac{4}$
①當(dāng)-$\frac{4}$≤1，即b≥-4時(shí)，函數(shù)f（x）最大值為f（3）=18+3b+c
∵f（x）最大值不大于7
∴18+3b+c≤7
∴b+c≤-3
②當(dāng)-$\frac{4}$＞1，即b＜-4時(shí)，函數(shù)f（x）最大值為f（-1）=2-b+c
∵f（x）最大值不大于7
∴2-b+c≤7
∴b+c≤-3
由①，②得，b+c的最大值為-3
（2）f（x）=a（x+$\frac{2a}$）²+c-$\frac{^{2}}{4a}$，對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$
f（x）圖象為拋物線
①當(dāng)|-$\frac{2a}$|≥1，即|a|≤|$\frac{2}$|時(shí)，f（x）的最值為f（1）=a+b+c和f（-1）=a-b+c
∵|f（x）|≤1對(duì)x∈[-1，1]恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{|a+b+c|≤1}\\{|a-b+c|≤1}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{|a+b+c|≤1}\\{|-a+b-c|≤1}\end{array}\right.$
∴|b|≤1
令g（x）=ax+b
g（x）在x∈[-1，1]上，最值為g（1）=a+b和g（-1）=-a+b
|g（1）|=|a+b|≤|a|+|b|≤$\frac{3}{2}$|b|≤$\frac{3}{2}$
|g（-1）|=|-a+b|≤|-a|+|b|≤$\frac{3}{2}$|b|≤$\frac{3}{2}$
∴M的最小值為$\frac{3}{2}$
②當(dāng)0≤|-$\frac{2a}$|＜1，即0≤|b|＜|2a|時(shí)，f（x）的最小值為f（-$\frac{2a}$）=c-$\frac{^{2}}{4a}$
f（x）最大值為f（1）或f（-1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{|c-\frac{^{2}}{4a}|≤1}\\{|a+b+c|≤1}\end{array}\right.$，即|a+b+$\frac{^{2}}{4a}$|≤2
或$\left\{\begin{array}{l}{|c-\frac{^{2}}{4a}|≤1}\\{|a-b+c|≤1}\end{array}\right.$，即|a-b-$\frac{^{2}}{4a}$|≤2
∴||a|-|b|-|$\frac{^{2}}{4a}$||≤|a+b+$\frac{^{2}}{4a}$|≤2或||a|-|b|-$\frac{^{2}}{4a}$|≤|a-b-$\frac{^{2}}{4a}$|≤2
∵0≤|b|＜|2a|
∴|a|≤1
|g（1）|=|a+b|≤|a|+|b|＜3|a|≤3
|g（-1）|=|-a+b||≤|a|+|b|＜3|a|≤3
∴M的最小值為3
綜上所述，|a|≤|$\frac{2}$|時(shí)，M的最小值為$\frac{3}{2}$
0≤|b|＜|2a|時(shí)，M的最小值為3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察二次函數(shù)對(duì)稱軸分布與所給區(qū)間范圍問(wèn)題，尤其是（2）中主要考察絕對(duì)值不等式，難度較大．