Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）的取值范圍；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=3，c=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的坐標表示，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式，結合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得所求范圍；
（2）由特殊角的三角函數(shù)值，可得C，再由余弦定理和面積公式，解方程可得a，b的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由0＜x＜$\frac{π}{4}$，可得$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
即有$\frac{1}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
則函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）的取值范圍是（2，3]；
（2）由f（C）=3，即2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=3，
即有sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，即2C+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即有k=0，可得C=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理，可得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{6}$，
即有1=a²+b²-$\sqrt{3}$ab，①
由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得ab=2$\sqrt{3}$，②
解得a=$\sqrt{3}$，b=2．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查三角函數(shù)的恒等變換，同時考查余弦定理和三角形的面積公式的運用，屬于中檔題．