Question

11．一塊邊長為8cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角加工成一個正四棱錐（底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足為底面中心的四棱錐）形容器，O為底面ABCD的中心，E為棱SA的中點，則DE與SC所成角的正切值為$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出DE與SC所成角的正切值．

解答 解由已知得正四棱錐S-ABCD中，底面正方形ABCD的邊長為6，△SAB的高h(yuǎn)=4，
SO=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（3$\sqrt{2}$，0，0），S（0，0，$\sqrt{7}$），E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），D（0，-3$\sqrt{2}$，0），C（-3$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），$\overrightarrow{SC}$=（-3$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{7}$），
設(shè)DE與SC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{SC}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{SC}|}$=$\frac{|\frac{25}{2}|}{\sqrt{\frac{97}{4}}•\sqrt{25}}$=$\frac{5}{\sqrt{97}}$，
sinθ=$\sqrt{1-\frac{25}{97}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{97}}$，tanθ=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
∴DE與SC所成角的正切值為$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
故答案為：$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．