Question

5．已知p：關于x的不等式${∫}_{0}^{x}$（2t+1）dt-m＞0對任意x∈[1，2]恒成立；q：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{x-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，不等式f（m²）＞f（m+2）成立．若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分求解方法，函數(shù)f（x）的單調性求出p，q下的m的取值范圍，然后根據(jù)p∨q為真，p∧q為假得到p，q一真一假，所以有p真q假，和p假q真兩種情況，求出每種情況的m的取值范圍再求并集即可

解答 解：p：${∫}_{0}^{x}$（2t+1）dt=（t²+t）|${\;}_{0}^{x}$=x²+x；
∴x²+x-m＞0在x∈[1，2]上恒成立；
∴m＜x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$對任意x∈[1，2]恒成立；
∴函數(shù)x²+x在[1，2]上單調遞增，
∴該函數(shù)的最小值為2；
∴m＜2；
q：由f（x）解析式知函數(shù)y=x²在[0，+∞）上單調遞增，y=x-1在（-∞，0）上單調遞增，且x-1＜0，x²≥0；
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
∴由f（m²）＞f（m+2）得m²＞m+2，解得m＜-1，或m＞2；
若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假；
∴p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{-1≤m≤2}\end{array}\right.$，
∴-1≤m＜2；
p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m＜-1，或m＞2}\end{array}\right.$，
∴m＞2；
∴m的取值范圍為[-1，2）∪（2，+∞）．

點評 考查定積分的計算，二次函數(shù)的單調性，一次函數(shù)的單調性，以及分段函數(shù)單調性的判斷方法，p∨q．p∧q真假和p，q真假的關系，屬于中檔題．