Question

13．過原點的直線MM′與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）分別交于點M和點M′，點F₂（1，0）是橢圓C的右焦點，且|MF₂|=1，|M′F₂|=3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過直線x=4上一點Q作橢圓C的切線，切點為P，求證：以PQ為直徑的圓過定點N（1，0）

Answer 1

分析 （1）由已知得a²=b²+c²，c=1，2a=4，由此能求出橢圓C的方程；
（2）設PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x₀，y₀），得P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），證明k_PN•k_QN=$\frac{\frac{3}{m}}{-\frac{4k}{m}-1}$$•\frac{4k+m}{3}$=-1，即可得出以PQ為直徑的圓經過點N（1，0）

解答 解：（1）由于點F₂（1，0）是橢圓C的右焦點，則橢圓的左焦點為F₁（-1，0）即c=1，
又由過原點的直線MM′與橢圓C分別交于點M和點M′，|MF₂|=1，|M′F₂|=3．
則|MF₂|=|M′F₁|=1，得到|M′F₁|+|M′F₂|=2a=4，即a=2．
則b²=4-1=3，故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0，
∴4k²-m²+3=0，①
此時x₀=$\frac{-4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=$\frac{3}{m}$，即P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），
∴k_PN•k_QN=$\frac{\frac{3}{m}}{-\frac{4k}{m}-1}$$•\frac{4k+m}{3}$=-1，
∴以PQ為直徑的圓過定點N（1，0）．

點評 本題考查橢圓C的標準方程的求法，考查以PQ為直徑的圓經過點N的判斷與求法，解題時要注意函數與方程思想的合理運用．