Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個焦點與拋物線${y^2}=4\sqrt{2}x$的焦點重合，連接該橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為$2\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同兩點M、N，設橢圓C位于y軸負半軸上的短軸端點為A，若三角形AMN是以線段MN為底邊的等腰三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點坐標，利用面積求解a，b，即可得到橢圓的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x2}{3}+y2=1\end{array}$得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，l利用△＞0，推出m²＜3k²+1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），弦MN的中點為P（x₀，y₀），通過韋達定理，求出k_AP，通過AP⊥MN，推出-$\frac{m+3k2+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，然后求解m的取值范圍．

解答 解：（1）拋物線${y^2}=4\sqrt{2}x$的焦點為$（\sqrt{2}，0）$，…（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{1}{2}×2a•2b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{b=1}\end{array}}\right.$
故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
△=（6mk）²-4（3k²+1）（3m²-3）＞0，得m²＜3k²+1，①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），弦MN的中點為P（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-$\frac{6mk}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$，
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3mk}{3{k}^{2}+1}$，y₀=kx₀+m=$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$，…（8分）
所以k_AP=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$
∵三角形AMN是以線段MN為底邊的等腰三角形，∴AP⊥MN，
則-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，…（10分）
得2m=3k²+1，代入①得m²＜2m，求得0＜m＜2．
又k²=$\frac{2m-1}{3}$＞0，得m＞$\frac{1}{2}$，從而$\frac{1}{2}$＜m＜2，
故m的取值范圍是$（\frac{1}{2}，2）$…（12分）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，參數(shù)求值范圍問題，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用，考查計算能力．