Question

15．如圖，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的右頂點為A，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點p是雙曲線右支上一點，PF₁交左支于點Q，交漸近線y=$\frac{a}$x于點R，M是PQ的中點，若RF₂⊥PF₁，且AM⊥PF₁，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)PF₁的方程為y=k（x+c），k＞0，聯(lián)立漸近線方程求得R的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，可得M的坐標(biāo)，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得k=$\frac{c-a}$，代入化簡整理，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)PF₁的方程為y=k（x+c），k＞0，
聯(lián)立漸近線方程y=$\frac{a}$x，可得R（$\frac{ack}{b-ka}$，$\frac{bck}{b-ka}$），
由直線y=k（x+c）代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得
（b²-a²k²）x²-2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{2c{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，
即有中點M（$\frac{c{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{c^{2}k}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$），
由A（a，0），F(xiàn)₂（c，0），
RF₂⊥PF₁，可得${k}_{R{F}_{2}}$=$\frac{bck}{2ack-bc}$=-$\frac{1}{k}$，
即有bk²+2ak-b=0，解得k=$\frac{c-a}$（負的舍去），
由AM⊥PF₁，可得k_AM=$\frac{c^{2}k}{c{a}^{2}{k}^{2}-a^{2}+{a}^{3}{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，
即為（c³+a³）k²=a（c²-a²），
即有（c³+a³）（c-a）²=ab²（c²-a²）=a（c²-a²）²，
化為c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程，以及聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，由韋達定理和中點坐標(biāo)公式，直線的斜率公式以及兩直線垂直的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．