Question

7．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$
（Ⅰ）將直線l化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C上的一點Q 到直線l 的距離的最大值及此時點Q的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的極坐標方程轉(zhuǎn)化為ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能示出直線l的直角坐標方程．
（Ⅱ）設(shè)點Q的坐標為（$\sqrt{3}cosα，sinα$），點Q到直線l的距離為d=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，由此能求出曲線C上的一點Q 到直線l 的距離的最大值及此時點Q的坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$
∴ρ（cos$θcos\frac{π}{4}$+sin$θsin\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
化簡得，ρcosθ+ρsinθ=4，…（1分）
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的直角坐標方程為x+y=4．…（3分）
（Ⅱ）由于點Q是曲線C上的點，則可設(shè)點Q的坐標為（$\sqrt{3}cosα，sinα$），…（4分）
點Q到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$ …（5分）
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$．…（7分）
當sin（$α+\frac{π}{3}$）=-1時，即$α=2kπ-\frac{5}{6}π$，
d_max=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．…（9分）
此時，cos$α=cos（-\frac{5}{6}π）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin$α=sin（-\frac{5}{6}π）=-\frac{1}{2}$，
∴點Q（-$\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}$）．…（10分）

點評 本題考查直線的直角坐標方程的求法，考查曲線上的一點到直線的距離的最大值及此時點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標與直角坐標的互化公式的合理運用．