Question

3．已知S_n為數列{a_n}的前n項和，且S₃=1，S₄=11，a_n+3=2a_n（n∈N^*），則S_3n+1=3×2ⁿ⁺¹-1．

Answer 1

分析 S₃=1，S₄=11，可得a₄=S₄-S₃．由于a_n+3=2a_n（n∈N^*），可得：a_3n+1=2a_3n-2．數列{a_3n-2}成等比數列，可得a_3n-2=a₄×2^n-2，利用數列{S_3n}成等比數列，即可得出．

解答 解：∵S₃=1，S₄=11，∴a₄=S₄-S₃=10．
∵a_n+3=2a_n（n∈N^*），∴a_3n+1=2a_3n-2．
數列{a_3n-2}成等比數列，a₄=10，公比為2．
∴a_3n-2=a₄×2^n-2=10×2^n-2．
∴數列{S_3n}成等比數列，首項S₃=1，公比為2．
則S_3n+1=S_3n+a_3n+1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+10×2^n-1=3×2ⁿ⁺¹-1．
故答案為：3×2ⁿ⁺¹-1．

點評 本題考查了等比數列的通項公式性質及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．