Question

11．若向量$\overrightarrow a$=（sinα，cosα-2sinα），$\overrightarrow b$=（1，2），且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，則$\frac{1+2sinαcosα}{{{{sin}^2}α-{{cos}^2}α}}$=$-\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 直接由向量共線的坐標表示列式求得tanα，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求，計算求解．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a$=（sinα，cosα-2sinα），$\overrightarrow b$=（1，2），且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，
∴2sinα-（cosα-2sinα）=0，整理可得：4sinα=cosα，
∴tanα=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1+2sinαcosα}{{{{sin}^2}α-{{cos}^2}α}}$=$\frac{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$=$\frac{1+ta{n}^{2}α+2tanα}{ta{n}^{2}α-1}$=$\frac{1+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}-1}$=$-\frac{5}{3}$．
故答案為：$-\frac{5}{3}$．

點評 本題考查平行向量的坐標運算，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．