Question

19．已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）（k≠0）相交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點．
（1）當(dāng)k=$\sqrt{2}$時，求|AB|的長；
（2）求證無論k為何值都有OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，消去x可得y的方程，求得A，B的坐標(biāo)，運用兩點的距離公式，即可得到所求值；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得y的方程，運用韋達(dá)定理，由A，B在拋物線y²=-x上，代入拋物線方程，再由直線的斜率公式，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得證．

解答 解：（1）由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-x\\ y=\sqrt{2}（{x+1}）\end{array}\right.$，
消去x后整理得$\sqrt{2}{y^2}+y-\sqrt{2}=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得${y_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{y_2}=-\sqrt{2}$，${x_1}=-\frac{1}{2}，{x_2}=-2$．
可得$|{AB}|=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$；
（1）證明：由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-x\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，
消去x后整理得ky²+y-k=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理，得y₁•y₂=-1，
由A，B在拋物線y²=-x上，
可得$y_1^2=-{x_1}$，$y_2^2=-{x_2}$，$y_1^2•y_2^2={x_1}{x_2}$，
則${k_{OA}}{k_{OB}}=\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{1}{{{y_1}•{y_2}}}=-1$，
即有無論k為何值都有OA⊥OB．

點評 本題考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，同時考查點滿足拋物線的方程，以及直線的斜率公式，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，屬于中檔題．