Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，若l為雙曲線一、三象限的一條漸近線，則l的傾斜角所在的區(qū)間可能是（　�。�

• A． $（{0，\frac{π}{6}}）$
• B． $（{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}）$
• C． $（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$
• D． $（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點(diǎn)求得p和c的關(guān)系，根據(jù)AF⊥x軸可判斷出|AF|的值和A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程與p=2c，b²=c²-a²聯(lián)立求得a和c的關(guān)系式，然后求得離心率e，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)相同，
∴p=2c
∵A是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且AF垂直x軸，
設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，
∴|AF|=p，
∴A（$\frac{p}{2}$，p），
∵點(diǎn)A在雙曲線上，
∴$\frac{{p}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{^{2}}$=1，
∵p=2c，b²=c²-a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
化簡(jiǎn)得：c⁴-6c²a²+a⁴=0，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e²＞1，
∴e²=3+2$\sqrt{2}$，
∴1+（$\frac{a}$）²=3+2$\sqrt{2}$
∴（$\frac{a}$）²=2+2$\sqrt{2}$＞3
∴l(xiāng)的傾斜角所在的區(qū)間可能是（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查關(guān)于雙曲線的離心率的問(wèn)題，屬于中檔題，本題利用焦點(diǎn)三角形中的邊角關(guān)系，得出a、c的關(guān)系，從而求出離心率．