Question

19．在一次水下考古活動(dòng)中，潛水員需潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè)．其用氧量包含以下三個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為每分鐘x米，每分鐘的用氧量為$\frac{1}{90}{x^2}$升；②水底作業(yè)需要10分鐘，每分鐘的用氧量為0.3升；③返回水面時(shí)，速度為每分鐘$\frac{1}{2}x$米，每分鐘用氧量為0.2升；設(shè)潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為y升．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（1）若x∈[4，8]，求總用氧量y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)速度、時(shí)間與路程之間的關(guān)系可知下潛所需時(shí)間為$\frac{30}{x}$分鐘、返回所需時(shí)間為$\frac{60}{x}$分鐘，進(jìn)而列式可得結(jié)論；
（2）通過(guò)基本不等式可知及x∈[4，8]可知$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}+3$在[4，6]上單調(diào)遞減、在[6，8]上單調(diào)遞增，比較當(dāng)x=4、8時(shí)的取值情況即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，下潛所需時(shí)間為$\frac{30}{x}$分鐘；返回所需時(shí)間為$\frac{60}{x}$分鐘，
∴$y=\frac{1}{90}{x^2}•\frac{30}{x}+10×0.3+\frac{60}{x}•0.2$，
整理得：$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}+3$（x＞0）；
（2）由基本不等式可知$\frac{x}{3}+\frac{12}{x}≥2\sqrt{\frac{x}{3}•\frac{12}{x}}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{3}=\frac{12}{x}$即x=6時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)閤∈[4，8]，
所以$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}+3$在[4，6]上單調(diào)遞減、在[6，8]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=6時(shí)，y取最小值7，
又因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí)$y=7\frac{1}{3}$；當(dāng)x=8時(shí)$y=7\frac{1}{6}$，
所以y的取值范圍是：$[7，7\frac{1}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．