【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥側面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=60°。
(Ⅰ)求證:C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)設(0≤λ≤1),且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為30°,試求λ的值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析; (Ⅱ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)由余弦定理可得的邊長.由勾股定理可得,由面面垂直的性質定理可證得面.(Ⅱ)以為原點建立空間直角坐標系,可得各點坐標,根據向量共線可用表示出點坐標,從而可得各向量坐標.根據向量垂直數量積為0可得面與面的法向量.兩法向量夾角余弦值的絕對值等于.從而可求得的值.
試題解析:(Ⅰ)證明:因為平面, 平面,所以。在中, ,由余弦定理得:
, 所以,
故, 所以,
又,∴平面。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知, 兩兩垂直.以為原點, 所在直線為軸建立空間直角坐標系.
則, 。
所以, 所以, ∴,
則, 。
設平面的一個法向量為,
則, 得,
令,則,∴,∵平面, 是平面的一個法向量,
∴.
兩邊平方并化簡得,所以或(舍去)。
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【題目】已知函數.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)若函數 的圖象在點 處的切線的傾斜角為 ,對于任意的,函數在區(qū)間上總不是單調函數, 求的取值范圍;
(3)求證:.
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【題目】已知為上的偶函數,當時, .對于結論
(1)當時, ;(2)函數的零點個數可以為4,5,7;
(3)若,關于的方程有5個不同的實根,則;
(4)若函數在區(qū)間上恒為正,則實數的范圍是.
說法正確的序號是__________.
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【題目】某企業(yè)常年生產一種出口產品,根據預測可知,進入21世紀以來,該產品的產量平穩(wěn)增長.記2009年為第1年,且前4年中,第x年與年產量f(x) 萬件之間的關系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.44 |
若f(x)近似符合以下三種函數模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=logx+a.
(1)找出你認為最適合的函數模型,并說明理由,然后選取其中你認為最適合的數據求出相應的解析式;
(2)因遭受某國對該產品進行反傾銷的影響,2015年的年產量比預計減少30%,試根據所建立的函數模型,確定2015年的年產量.
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【題目】已知函數f(x)= (t+1)lnx,,其中t∈R.
(1)若t=1,求證:當x>1時,f(x)>0成立;
(2)若t> ,判斷函數g(x)=x[f(x)+t+1]的零點的個數.
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【題目】設全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}
(1)若a=-2,求B∩A,B∩UA;
(2)若BA,求實數a取值范圍.
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【題目】已知圓.(14分)
(1)此方程表示圓,求m的取值范圍;
(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點,且(O為坐標原點),求m的值;
(3)在(2)的條件下,求以為直徑的圓的方程.
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【題目】已知為定義在R上的奇函數,當時,為二次函數,且滿足,在上的兩個零點為和.
(1)求函數在R上的解析式;
(2)作出的圖象,并根據圖象討論關于的方程根的個數.
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【題目】隨著網絡的發(fā)展,人們可以在網絡上購物、玩游戲、聊天、導航等,所以人們對上網流量的需求越來越大.某電信運營商推出一款新的“流量包”套餐.為了調查不同年齡的人是否愿意選擇此款“流量包”套餐,隨機抽取50個用戶,按年齡分組進行訪談,統計結果如右表.
組 號 | 年齡 | 訪談 人數 | 愿意 使用 |
1 | [18,28) | 4 | 4 |
2 | [28,38) | 9 | 9 |
3 | [38,48) | 16 | 15 |
4 | [48,58) | 15 | 12 |
5 | [58,68) | 6 | 2 |
(Ⅰ)若在第2、3、4組愿意選擇此款“流量包”套餐的人中,用分層抽樣的方法抽取12人,則各組應分別抽取多少人?
(Ⅱ)若從第5組的被調查者訪談人中隨機選取2人進行追蹤調查,求2人中至少有1人愿意選擇此款“流量包”套餐的概率.
(Ⅲ)按以上統計數據填寫下面2×2列聯表,并判斷以48歲為分界點,能否在犯錯誤不超過1%的前提下認為,是否愿意選擇此款“流量包”套餐與人的年齡有關?
年齡不低于48歲的人數 | 年齡低于48歲的人數 | 合計 | |
愿意使用的人數 | |||
不愿意使用的人數 | |||
合計 |
參考公式:,其中:n=a+b+c+d.
P(k2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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