Question

16．已知△ABC的外接圓圓心為O，∠A=120°，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，則x+y的最小值為2．

Answer 1

分析 先設(shè)$|\overrightarrow{AB}|=c$，$|\overrightarrow{AC}|=b$，根據(jù)條件可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}bc$，取AB中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)E，并連接OD，OE，根據(jù)O為外接圓的圓心，從而有OD⊥AB，OE⊥AC，這樣便可得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{c}^{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}^{2}$．從而由$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$便有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$，從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}c=cx-\frac{1}{2}by}\\{\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}cx+by}\end{array}\right.$，可解出x，y，從而得到x+y=$\frac{3c}+\frac{c}{3b}+\frac{4}{3}$，到這由基本不等式即可得出x+y的最小值．

解答 解：如圖，
設(shè)$|\overrightarrow{AB}|=c$，$|\overrightarrow{AC}|=b$則：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}bc$；
分別取AB，AC的中點(diǎn)D，E，并連接OD，OE，則：OD⊥AB，OE⊥AC；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|cos∠BAO$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}$；
同理$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}=\frac{1}{2}^{2}$；
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$；
∴$\frac{1}{2}{c}^{2}=x{c}^{2}-\frac{1}{2}bcy$；
∴$\frac{1}{2}c=cx-\frac{1}{2}by$   ①；
同理，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$；
∴$\frac{1}{2}^{2}=-\frac{1}{2}bcx+^{2}y$；
∴$\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}cx+by$   ②；
①②聯(lián)立解出x，y：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3c}+\frac{2}{3}}\\{y=\frac{c}{3b}+\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\frac{3c}+\frac{c}{3b}+\frac{4}{3}≥2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{4}{3}=2$；
∴x+y的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的計(jì)算公式，解二元一次方程組，三角形外接圓圓心的定義，余弦函數(shù)的定義，以及基本不等式用于求最小值．