Question

5．設(shè)集合A為函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}+2x-8}$的定義域，集合B為關(guān)于x的不等式$a{x^2}+（{4a-\frac{1}{a}}）x-\frac{4}{a}$≤0的解集．
（1）求A；
（2）若B⊆A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式x²+2x-8≥0，由此求得x的取值范圍，即A；
（2）由（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0，知a≠0．分a＞0與a＜0兩類討論，利用B⊆A即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1））∵x²+2x-8≥0，
∴x≤-4或x≥2，
∴A={x|x≤-4或x≥2}；
（2）由$a{x^2}+（{4a-\frac{1}{a}}）x-\frac{4}{a}$≤0即（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0知，a≠0．
①當(dāng)a＞0時(shí)，由（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0，得B=[-4，$\frac{1}{{a}^{2}}$]．不滿足B⊆A；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0，得B=（-∞，-4]∪[$\frac{1}{{a}^{2}}$，+∞）．
∵B⊆A，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上所述，a的取值范圍是：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，一元二次不等式的解法，解題時(shí)，利用了分類討論是數(shù)學(xué)思想，以防漏解．