Question

6．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若$a≤-\frac{1}{2}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=-1，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}+{x^2}+m$的圖象僅有1個公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=0代入，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出斜率，從而求出切線方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）將a=-1代入，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，通過討論x的范圍，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進而求出g（x）的極值，從而求出m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x-1）e^x，f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=f（1）=e．
又∵f（1）=0，∴所求切線方程為y=e（x-1），
即．ex-y-4=0
（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=[ax²+（2a+1）x]e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
①若a=-$\frac{1}{2}$，f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²e^x≤0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞），
②若a＜-$\frac{1}{2}$，當(dāng)x＜-$\frac{2a+1}{a}$或x＞0時，f′（x）＜0；
當(dāng)-$\frac{2a+1}{a}$＜x＜0時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-$\frac{2a+1}{a}$]，[0，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{2a+1}{a}$，0]．
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時，由（Ⅱ）③知，f（x）=（-x²+x-1）e^x在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，
在[-1，0]單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=-$\frac{3}{e}$，在x=0處取得極大值f（0）=-1，
由$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}+{x^2}+m$，得g′（x）=2x²+2x．
當(dāng)x＜-1或x＞0時，g′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0]單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故g（x）在x=-1處取得極大值$g（{-1}）=\frac{1}{3}+m$，
在x=0處取得極小值g（0）=m，
∵數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象僅有1個公共點，
∴g（-1）＜f（-1）或g（0）＞f（0），即.$m＜-\frac{3}{e}-\frac{1}{3}或m＞-1$．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．