Question

已知函數f（x）=lg（x+1）．
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范圍；
（2）若g（x）是以2為周期的偶函數，且當0≤x≤1時，有g（x）=f（x），求函數y=g（x）（x∈[-1，1]）的解析式．

Answer 1

考點：函數的周期性,對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據對數的運算性質，求出具體不等式，即可求x的取值范圍；
（2）當x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]，因此y=g（x）=g（-x），進而可得函數y=g（x）（x∈[-1，1]）的解析式．

解答： 解：（1）f（1-2x）=lg（2-2x）
由

2-2x＞0 x+1＞0

，得-1＜x＜1．
由0＜f（1-2x）-f（x）＜1得0＜lg

2-2x

x+1

＜1，
∴1＜

2-2x

x+1

＜10  
∵x+1＞0，
∴x+1＜2-2x＜10x+10，
∴-

2

3

＜x＜

1

3

．
∵-1＜x＜1，
∴-

2

3

＜x＜

1

3

；
（2）當x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]，因此y=g（x）=g（-x）=lg[（-x）+1]=lg（1-x），
∴函數y=g（x）=

lg(1-x)，x∈[-1，0) lg(1+x)，x∈[0，1]

點評：本題考查了利用函數的周期性，奇偶性求函數解析式，屬于基礎題型．