Question

3．若函數(shù)y=f（x）對任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，恒有f（x）＜0．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得f（0）=0，再由0=f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x），即可得f（-x）=-f（x），即可得答案；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，結(jié)合f（x+y）=f（x）+f（y）由函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0可以轉(zhuǎn)化為為f（-x²+2x+8）＜f（0），即-x²+2x+8＞0，解可得x的范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0，可知f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0．
又0=f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x），
移項得f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由已知條件，知f（x₂-x₁）＜0，①
又因為f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），②
由①②，知x₂-x₁＞0時，
f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即x₁＜x₂時，f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
由已知條件，知f（8）=2f（4）=4f（2）=4，
∴f（-x²）+2f（x）+4=f（-x²+2x+8），
又f（0）=0，且f（x）在R上為減函數(shù)，
所以f（-x²）+2f（x）+4＜0可化為f（-x²+2x+8）＜f（0），即-x²+2x+8＞0，解得-2＜x＜4．
所以不等式的解集為（-2，4）．

點評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用賦值法分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．