Question

14．已知f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）對(duì)?x₁∈R，有f（x₁）≥2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=3的值代入f（x），通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）因?yàn)閍=3，
所以有|x-1|+|x-3|≥4，
當(dāng)x≤1時(shí)，有4-2x≥4，所以x≤0，
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，有2≥4，
當(dāng)x≥3時(shí)，有2x-4≥4，所以x≥4，
綜上所述，原不等式的解集為{x|x≤0或x≥4}．
（2）由題意可得f（x）_min≥2，
又f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，
所以有|a-1|≥2，
即a的取值范圍a≥3或a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的意義以及分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．