Question

3．已知函數(shù)f（x），對(duì)?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)f（x）為“三角形函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=mcos²x+msinx+3是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{6}{7}$，$\frac{12}{13}$）
• B． [-2，$\frac{12}{13}$]
• C． [0，$\frac{12}{13}$]
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 若f（x）=mcos²x+msinx+3是“三角形函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{f（x）_{min}＞0}\\{2f（x）_{min}＞f（x）{\;}_{max}}\end{array}\right.$，分類(lèi)討論，即可求出m的取值范圍．

解答 解：若f（x）=mcos²x+msinx+3是“三角形函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{f（x）_{min}＞0}\\{2f（x）_{min}＞f（x）{\;}_{max}}\end{array}\right.$，
∵f（x）=mcos²x+msinx+3=-m（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$m+3，
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）_min=f（-1）=-m+3，f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$m+3，則$\left\{\begin{array}{l}{-m+3＞0}\\{\frac{5}{4}m+3＜2（-m+3）}\end{array}\right.$，解得0$＜m＜\frac{12}{13}$，
當(dāng)m=0時(shí)，f（a）=f（b）=f（c）=3，符合題意，
當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）_maxf（-1）=-m+3，f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$m+3，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}m+3＞0}\\{2（\frac{5}{4}m+3）＞-m+3}\end{array}\right.$，解得-$\frac{6}{7}$＜m＜0，
綜上所述m的取值范圍為（-$\frac{6}{7}$，$\frac{12}{13}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值和分類(lèi)討論思想，屬于中檔題；解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到“三角形函數(shù)”滿(mǎn)足的條件[-1，1]，這也是本題的難點(diǎn)；對(duì)于“a”的情況容易忽視．