Question

12．已知A（-3，0），B、C兩點分別在y軸和x軸上運動，點P為BC延長線上一點，并且滿足$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}$，試求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 分別設(shè)出B、C、P的坐標(biāo)，得到有關(guān)向量的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}$，聯(lián)立求得動點P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)P（x，y），B（0，y'），C（x'，0），則$\overrightarrow{BC}=（x'，-y'）、\overrightarrow{BP}=（x，y-y'）$，…（4分）
由$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}$，得$（x'，-y'）=\frac{1}{2}（x，y-y'）$，…（8分）
即$x'=\frac{x}{2}，y'=-y$，∴B（0，-y），…（11分）
又A（-3，0），∴$\overrightarrow{AB}=（3，-y），\overrightarrow{BP}=（x，2y）$，…（13分）
由$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BP}$，得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BP}=0$，…（16分）
∴3x-2y²=0，得${y^2}=\frac{3}{2}x$，即為動點P的軌跡方程．…（18分）

點評 本題考查了與直線有關(guān)的動點的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運算，屬中高檔題．