Question

2．已知△ABC滿足A=$\frac{π}{3}$，（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，點(diǎn)M在△ABC外，且MB=2MC=2，則MA的取值范圍是[1，3]．

Answer 1

分析 由題意可知，△ABC為等邊三角形，再結(jié)合題意畫(huà)出圖形，分M與A在BC同側(cè)及M與A在BC異側(cè)兩種情況，利用正弦定理和余弦定理結(jié)合求得MA的取值范圍，最后取并集得答案．

解答 解：由△ABC滿足A=$\frac{π}{3}$，（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
可得△ABC為等邊三角形，
又點(diǎn)M在△ABC外，且MB=2MC=2，
如圖1．若M與A在BC同側(cè)，
設(shè)∠BMC=β，∠BCM=α，
則$\frac{a}{sinβ}=\frac{2}{sinα}=\frac{1}{sin（α+β）}$，
可得1-2cosβ=a•cosα，
又cosα=$\frac{{a}^{2}-3}{2a}$，
∴|MA|²=a²+1-2acos（α-60°）=5-4cos（β-60°）∈[1，7），
則|MA|∈[1，$\sqrt{7}$）；
如圖2．若M與A在BC異側(cè)，
設(shè)∠BMC=β，∠BCM=α，
則$\frac{a}{sinβ}=\frac{2}{sinα}=\frac{1}{sin（α+β）}$，
可得1-2cosβ=a•cosα，
又cosα=$\frac{{a}^{2}-3}{2a}$，
∴|MA|²=a²+1-2a•cos（α+60°）=5+4sin（β-60°）∈（$5-2\sqrt{3}$，9]，
則|MA|∈（$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$，3]．
綜上，|MA|的最小值為1，最大值為3，
故答案為：[1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角形的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，靈活轉(zhuǎn)化是解決該題的關(guān)鍵，題目設(shè)置難度較大．