Question

2．某地擬建造一座大型體育館，其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓如圖所示：曲線AB是以點E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲線BC是拋物線y=-ax²+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圓E的半徑．假定擬建體育館的高OB=50（單位：米，下同）．
（1）若t=20、a=$\frac{1}{49}$，求CD、AD的長度；
（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度DF不超過75米，求a的取值范圍；
（3）若a=$\frac{1}{25}$，求AD的最大值．

Answer 1

分析 （1）分別求出OD和AO的長，相加即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為$\sqrt{\frac{1}{a}}≤\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}$恒成立，根據(jù)級別不等式的性質(zhì)解出即可；
（3）法一：根據(jù)三角函數(shù)知識解答；法二：根據(jù)圓的知識解答即可．

解答 解：（1）因為圓E的半徑為OB-OE=50-t=30，
所以CD=30．
在$y=-\frac{1}{49}{x^2}+50$中令y=30，得$OD=14\sqrt{5}$．
在圓E：x²+（y-20）²=30²，中令y=0，得$AO=10\sqrt{5}$，
所以$AD=AO+OD=10\sqrt{5}+14\sqrt{5}=24\sqrt{5}$．
（2）由圓E的半徑為OB-OE=50-t，得CD=50-t．
在y=-ax²+50中令y=50-t，得$OD=\sqrt{\frac{t}{a}}$．$DF=OF+OD=50-t+\sqrt{\frac{t}{a}}$．
由題意知，$50-t+\sqrt{\frac{t}{a}}≤75$對t∈（0，25]恒成立，所以$\sqrt{\frac{1}{a}}≤\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}$恒成立．
當(dāng)$\sqrt{t}=\frac{25}{{\sqrt{t}}}$，即t=25時，$\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}$取得最小值10，
故$\sqrt{\frac{1}{a}}≤10$，解得$a≥\frac{1}{100}$．
（3）當(dāng)$a=\frac{1}{25}$時，$OD=5\sqrt{t}$．
又圓E的方程為x²+（y-t）²=（50-t）²，
令y=0，得$x=±10\sqrt{25-t}$，所以$OA=10\sqrt{25-t}$，從而$AD=10\sqrt{25-t}+5\sqrt{t}$．
下求$f（t）=10\sqrt{25-t}+5\sqrt{t}（0＜t≤25）$的最大值．
方法一：令$t=25{cos^2}α，α∈[{0，\frac{π}{2}}）$，
則$AD=10\sqrt{25-t}+5\sqrt{t}=10×5sinα+5×5cosα$=$25\sqrt{5}•sin（α+φ）$，其中φ是銳角，且$tanφ=\frac{1}{2}$，
從而當(dāng)$α+φ=\frac{π}{2}$時，AD取得最大值$25\sqrt{5}$．
方法二：令$x=\sqrt{25-t}，y=\sqrt{t}$，則題意相當(dāng)于：已知x²+y²=25（x≥0，y≥0），
求z=AD=5（2x+y）的最大值．
當(dāng)直線$y=-2x+\frac{z}{5}$與圓弧x²+y²=25（x≥0，y≥0）相切時，z取得最大值$25\sqrt{5}$．
答：當(dāng)t=5米時，AD的最大值為$25\sqrt{5}$米．

點評 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道難題．