Question

16．設{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，a₂+b₃=10，a₃+b₂=7．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，記${c_n}=（1+\frac{S_n}{2}）•{a_n}，n∈{N^*}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，且a₁=1，b₁=2，a₂+b₃=10，a₃+b₂=7．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+_{1}{q}^{2}=10}\\{{a}_{1}+2d+_{1}q=7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+d+2{q}^{2}=10}\\{1+2d+2q=7}\end{array}\right.$，
消去d得2q²-q-6=0，（2q+3）（q-2）=0，
∵{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴q=2，d=1，
∴a_n=n，b_n=2ⁿ．
（2）S_n=2ⁿ⁺¹-2，…（7分）
c_n=a_n•（$\frac{Sn}{2}$+1）=n•2ⁿ，
設T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相減，可得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．