Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，且x∈（0，+∞），f（x）≥bx-1恒成立，求b的取值范圍
（Ⅲ）若n∈N^*，比較n！與e${\;}^{\frac{{n}^{2}+9n}{8}}$的大小，（注：n！稱為n的階乘，且n！=n×（n-1）×（n-2）×…×2×1，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，對a討論，令導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-1?1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$≥b，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，g（x）_min即為所求的b的值；
（Ⅲ）若n∈N^*，n！＜e${\;}^{\frac{{n}^{2}+9n}{8}}$．運用數(shù)學歸納法證明．注意解題步驟，可運用分析法證明．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ax-lnx的導數(shù)為f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，x＞0
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減；
當a＞0時，f′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0可得0＜x＜$\frac{1}{a}$．
即有當a≤0時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$）．
（Ⅱ）∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
由f′（1）=0，∴a=1，
∴f（x）≥bx-1?1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$≥b，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$（2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e²，由g′（x）≤0得，0＜x≤e²，
∴g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，
∴g（x）_min=g（e²）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．
（Ⅲ）若n∈N^*，n�。糴${\;}^{\frac{{n}^{2}+9n}{8}}$．
運用數(shù)學歸納法證明．
①當n=1時，1�。�${e}^{\frac{5}{4}}$成立，
②設(shè)n=k，k∈N^*，k!＜${e}^{\frac{{k}^{2}+9k}{8}}$，
n=k+1時，（k+1）!=（k+1）k!＜（k+1）•${e}^{\frac{{k}^{2}+9k}{8}}$，
要證（k+1）•${e}^{\frac{{k}^{2}+9k}{8}}$＜${e}^{\frac{（k+1）（k+10）}{8}}$，
即證k+1＜${e}^{\frac{k+5}{4}}$，即證ln（k+1）＜$\frac{k+5}{4}$，
設(shè)h（x）=ln（1+x）-$\frac{x+5}{4}$，x＞0，
h′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3-x}{4（x+1）}$，
當x＞3時，h（x）遞減，當0＜x＜3時，h（x）遞增，
即有h（x）＜h（3）=ln4-2＜0，
則有l(wèi)n（1+x）＜$\frac{x+5}{4}$，x＞0，
即為ln（k+1）＜$\frac{k+5}{4}$成立．
綜上可得，n∈N^*，n�。糴${\;}^{\frac{{n}^{2}+9n}{8}}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，不等式的證明方法：數(shù)學歸納法，分類討論的思想方法，屬于中檔題．