Question

2．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，且其圖象經(jīng)過點（$\frac{7π}{12}$，0），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值的和為（　�。�

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值的和．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．
再根據(jù)其圖象經(jīng)過點（$\frac{7π}{12}$，0），可得sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=0，∴φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$；當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）的最大值為1，
的最大值與最小值的和為-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．